Differentialgleichungen setzen Funktionen und deren Ableitungen in Bezug zueinander. Sie definieren damit bestimmte Funktionen (nämlich die, die Gleichung lösen).
Definition
Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Beziehung zwischen einer Funktion \(y:x\to y(x)\) , ihrem Argument \(x\) und einer oder mehrerer ihrer Ableitungen \(y',y'',\ldots\) ausdrückt. Also eine Gleichung der Form: $$F(x,y,y',\ldots,y^{(k)}) = 0$$ Wobei:
- \(k\in\mathbb{N}\) (die Ordnung der Differentialgleichung)
- \(F:I\times M\to\mathbb{C}\) mit \(I\subseteq\mathbb{R}\) und \(M\subseteq\mathbb{C}^{k+1}\)
Eine Lösung der Differentialgleichung ist ein Intervall \(J\subseteq I\) und eine \(k\) -mal differenzierbare Funktion \(y:J\to\mathbb{C}\) , so dass für alle \(x\in J\) gilt: $$(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(k)}(x))\in I\times M$$ $$F(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(k)}(x)) = 0$$ Oft ist zusätzlich eine Anfangsbedingung \(y(a)=b\) gegeben.
Bemerkungen:
- Implizite Form: \(F(x,y,y',\ldots,y^{(k)}) = 0\)
- Explizite Form: \(y^{(k)} = f(x,y,y',\ldots,y^{(k-1)})\)
- In partiellen Differentialgleichungen hängt \(y\) von mehreren Veränderlichen ab.