Eine parametrisierte Kurve \(f\) ist eine stetige Funktion \(f:I\to\mathbb{R}^n\) , typischerweise angegeben als n-Tupel von Funktionen \((f_1,\ldots,f_n)\) .
Eine Kurve ist eine Äquivalenzklasse von parametrisierten Kurven.
Anschaulich kann man sich Kurven als den Weg eines Punktes in einer bestimmten Richtung durch den \(\mathbb{R}^n\) vorstellen. In einer physikalischen Interpretation ist \(I\) eine Menge von Zeitpunkten, d.h. eine parametrisierte Kurve beschreibt die Bewegung eines Punktes entlang des Weges mit einer bestimmten Geschwindigkeit, indem sie für jeden Zeitpunkt den Ort des Punktes im Raum angibt. Dann ist \(f'(t)\) für \(t\in I\) der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt \(t\) der Bewegung.
Beispiel:
- Eine Ellipse mit den Hauptachsen \(a,b\) ist gegeben durch \(f:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2\) mit: $$f(t):=\begin{pmatrix}a\cos t \\ b\sin t\end{pmatrix}$$ Für einen Kreis ist \(a=b\) der Radius.
Das Bild von \(f\) heißt Spur der Kurve.
Eine Kurve \(f:I\to\mathbb{R}^n\) heißt glatt, falls \(f'(t)\neq 0\) für alle \(t\in I\) .
Rektifizierbarkeit und Bogenlänge
Die Länge einer Kurve ist das Supremum der Längen der in ihr eingeschriebenen Polygonzüge. Eine Kurve ist rektifizierbar, wenn diese Länge endlich ist (also wenn die Mengeder Längen aller möglichen Polygonzüge beschränkt ist).
Eine Kurve ist stetig differenzierbar auf \(I\) , wenn jede Funktion \(f_i\) auf \(I\) stetig differenzierbar ist. Jede stetig differenzierbare Kurve \(f:[a,b]\to\mathbb{R}^n\) ist rektifizierbar, d.h. ihre Bogenlänge ist endlich. Die Bogenlänge \(L(f)\) lässt sich dann berechnen durch:
$$L(f)=\int_a^b \|f'(t)\|_2\,dt$$Vorausgesetzt, dass das Integral existiert. Wobei \(\|\cdot\|_2\) die euklidische Norm ist und damit ist \(\|f'(t)\|_2\in\mathbb{R}\) . Dadurch ergibt sich: $$L(f)= \|f'(t)\|_2\,t\;|_a^b = \|f'(t)\|_2(b-a) = \sqrt{f_1'^2+\ldots+ f_n'^2}\,(b-a)$$