Definition
Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Beziehung zwischen einer Funktion \(y:x\to y(x)\) , ihrem Argument \(x\) und einer oder mehrerer ihrer Ableitungen \(y',y'',\ldots\) ausdrückt. Also eine Gleichung der Form: $$F(x,y,y',\ldots,y^{(k)}) = 0$$ Wobei:
- \(k\in\mathbb{N}\) (die Ordnung der Differentialgleichung)
- \(F:I\times M\to\mathbb{C}\) mit \(I\subseteq\mathbb{R}\) und \(M\subseteq\mathbb{C}^{k+1}\)
Eine Lösung der Differentialgleichung ist ein Intervall \(J\subseteq I\) und eine \(k\) -mal differenzierbare Funktion \(y:J\to\mathbb{C}\) , so dass für alle \(x\in J\) gilt: $$(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(k)}(x))\in I\times M$$ $$F(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(k)}(x)) = 0$$ Oft ist zusätzlich eine Anfangsbedingung \(y(a)=b\) gegeben.
Bemerkungen:
- Implizite Form: \(F(x,y,y',\ldots,y^{(k)}) = 0\)
- Explizite Form: \(y^{(k)} = f(x,y,y',\ldots,y^{(k-1)})\)
- In partiellen Differentialgleichungen hängt \(y\) von mehreren Veränderlichen ab.