Eine \(m\times n\) -Matrix über einem Körper \(\mathbb{K}\) ist eine Anordnung von Element von \(\mathbb{K}\) nach folgendem Schema (mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten): $$\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}$$
Die Menge aller solcher Matrizen wird mit \(M_{mn}(\mathbb{K})\) bezeichnet.
Matrizen können auch über einem kommutativen Ring statt einem Körper definiert werden. Dann ergeben sich folgende Unterschiede:
- Matrizen über kommutativen Ringen können nicht notwendigerweise in Normalform überführt werden.
Matrizenrechnung
Addition und Skalarmultiplikation passieren elementweise.
Multiplikation
Transponierte Matrix
Elementarmatrizen
Elementare Zeilenumformungen:
- \(P_{ij}\) Vertauschen der Zeilen \(i\) und \(j\)
- \(D_{i}(c)\) Multiplikation der Zeile \(i\) mit einem Skalar \(c\)
- \(T_{ij}(c)\) Addition des \(c\) -fachen der Zeile \(j\) zu einer anderen (nicht derselben!) Zeile \(i\)
Analog für Spalten. Diese Umformungen ändern den Rang einer Matrix nicht.
Rang, Inverse, Determinante, Adjungierte
Rang
Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Spalten (oder Zeilen, das kommt auf’s gleiche raus).
Determinante
Die Determinante ist eine eindeutige Abbildung \(M_{nn}(\mathbb{K})\to\mathbb{K}\) , die so definiert ist, dass sie genau dann 0 wird, wenn die Spalten der Matrix nicht linear unabhängig sind (die Matrix also nicht invertierbar ist): $$\text{det}(A) = ...$$
Für \(A\in M_{22}(\mathbb{K})\) ist das einfach: $$\text{det}(A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$$ Das lässt sich gut nachvollziehen, denn wenn die Spaltenvektoren linear abhängig sind (und von 0 verschieden), heißt das es gibt ein \(c\in\mathbb{K}\) , so dass: $$\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \end{pmatrix} = c\cdot \begin{pmatrix} a_{21} \\ a_{22} \end{pmatrix}$$ Also \(a_{11} = c\cdot a_{21}\) und \(a_{12} = c\cdot a_{22}\) , d.h. \(c=\dfrac{a_{11}}{a_{21}}\) und damit \(a_{12} = \dfrac{a_{11}}{a_{21}} a_{22}\) . Daraus ergibt sich \(a_{12} a_{21} = a_{11} a_{22}\) bzw. \(0 = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\) .
Die Determinante hat die folgenden Eigenschaften:
-
\(\text{det}(I)=1\) (Identitätsmatrix)
-
\(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\,\text{det}(B)\) für Matrizen über Integritätsbereichen
-
\(\text{det}(A)=0\) genau dann, wenn \(\text{rang}(A) < n\)
Ob \(\text{det}(A)=0\) oder nicht ändert sich also nicht durch Zeilenumformungen. Die Determinanten ist damit eine Invariante der Matrix.
Für Elementarmatrizen gilt:
- \(\text{det}(P_{ij}) = -1\) , also \(\text{det}(P_{ij}A)=-\text{det}(A)\)
- \(\text{det}(D_{i}(c)) = c\) , also \(\text{det}(D_{i}(c)A)=c\cdot\text{det}(A)\)
- \(\text{det}(T_{ij}(c)) = 1\) , also \(\text{det}(T_{ij}(c)A)=\text{det}(A)\)
-
\(\text{det}(\text{normalform}(A))\) = Produkt der Diagonalelemente
Die Determinante wird also genau dann 0, wenn das Produkt der Diagonalelemente der Normalform 0 ist, d.h. wenn mindestens eins der Diagonalelemente 0 ist. Die Determinanten erfasst damit, ob eine quadratische Matrix invertierbar (regulär) ist.
Adjungierte
Invertierbarkeit
Für eine \(n\times n\) Matrix \(A\) sind die folgenden Aussagen äquivalent:
- \(A\) ist invertierbar.
- \(\text{rang}(A)=n\)
- Die Spaltenvektoren von \(A\) sind linear unabhängig.
- \(A\) kann als endliches Produkt von Elementarmatrizen ausgedrückt werden.
- \(\text{det}(A)\neq 0\) (d.h. wenn \(\text{det}(A)\) im Körper oder Ring, über dem die Matriz definiert ist, invertierbar ist)
Gilt \(AB=C\) und wendet man die gleichen Zeilenumformungen auf \(A\) und \(C\) an (mit dem Ergebnis \(A'\) und \(C'\) ), so ist \(A'B=C'\) . Da \(AA^{-1}=I\) , bedeutet das, dass man die Inverse einer Matrix bestimmen kann, indem man die gleichen Zeilenumformungen, die \(A\) in \(I\) überführen, ausführen kann, um \(I\) in \(A^{-1}\) zu überführen.
Matrizen als lineare Transformationen
Eine Matrix \(A\in M_{mn}(\mathbb{K})\) kann als lineare Abbildung zwischen endlichen Vektorräumen verstanden werden ( \(\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m\) ), bildet also Vektoren \(x\in\mathbb{K}^n\) auf Vektoren \(Ax\in\mathbb{K}^m\) ab. Linear ist eine solche Abbildung, weil die Matrizenmultiplikation sowohl Addition als auch Skalarmultiplikation respektiert:
- \(A(x+y) = Ax + Ay\)
- \(A(cx) = c(Ax)\)
In einem zweidimensionalen Raum kann man Linearität anschaulich so verstehen, dass die Transformation des Raumes seine Gridlinien parallel lässt und der Abstand zwischen ihnen überall gleich bleibt.
Da jeder Vektor als Linearkombination der kanonischen Basisvektoren dargestellt werden kann, ist eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen vollständig dadurch bestimmt, worauf diese Basisvektoren abgebildet werden. Eine Matrix als Darstellung einer linearen Abbildung enthält als Spalten nun genau die Vektoren, auf die die Basisvektoren abgebildet werden. Nehmen wir die kanonischen Basisvektoren von \(x\in\mathbb{K}^n\) : $$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \ldots, e_n = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Multiplikation einer Matrix \(A\) mit einem Basisvektor \(e_i\) ergibt genau die i-te Spalte der Matrix, d.h. \(Ae_i\) ist der Vektor, auf den \(e_i\) abgebildet wird.
Allgemeiner bedeutet die Multiplikation der Matrix \(A\) mit einem beliebigen Vektor \(x\) die Anwendung der Transformation auf diesen Vektor. Denn jeder Vektor kann als Linearkombination von Basisvektoren geschrieben werden kann, aufgrund der Linearität erhält man also: $$Ax=A(c_1e_1+\cdots +c_ne_n)=c_1Ae_1+\cdots + c_nAe_n$$
Aus der Interpretation von Matrizen als lineare Transformationen ergibt sich folgendes Bild:
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Die Elementarmatrizen entsprechen Basistransformationen (Rotation, Verschieben, Stauchen oder Strecken) und dass jede Matrix als Produkt von Elementarmatrizen darstellbar ist, bedeutet dass eine Transformation als Komposition von Basistransformationen beschrieben werden kann.
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Die Matrizenmultiplikation \(AB\) entspricht der Komposition der beiden Transformationen ( \(A\circ B\) , d.h. erst wird \(B\) ausgeführt, dann \(A\) ).
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Die Inverse einer Matrix entspricht der inversen Transformation:
- \(Ax=v\) bedeutet, dass die Tranformation \(A\) den Vektor \(x\) auf den Vektor \(v\) abbildet.
- Daraus folgt \(x=A^{-1}v\) , d.h. man findet \(x\) , indem man die inverse Transformation \(A^{-1}\) auf \(v\) anwendet.
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Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl des Dimensionen des Outputs der Transformation.
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Die Determinante einer Matrix ist der Faktor, um den ein Teil des Raumes durch die Transformation gestaucht oder gestreckt wird (z.B. der Inhalt einer Fläche im zweidimensionalen Raum oder das Volumen im dreidimensionalen Raum).
- Ist die Determinante negativ, entspricht das einer Umkehrung der Orientierung des Raumes.
- Ist die Determinante 0, heißt das, die Transformation bildet auf eine niedrigere Dimension ab. Man verliert also Informationen und kann die Transformation deswegen nicht rückgängig machen, d.h. die Matrix ist nicht invertierbar.